# Symmetric Cube Positions with more than 4 symmetries

Submitted by Herbert Kociemba on Fri, 02/03/2006 - 15:31.

Symmetric cube positions tend to be deeper positions than positions without symmetry. So in the search for a 21 FTM-positon it seems natural to look for positions with a higher degree of symmetry.

For the labeling of cube symmetries there does not seem to exist a really consistent procedure. Michael Reid uses a different labeling than Jaap Scherhuis which also differs from my notation. My notation uses the Schoenflies symbols, I used for example this site for a deeper understanding.

In the symmetry editor module of my Cube Explorer program, the symmetries are sorted by the number of cubes having this symmetry. For symmetries where the associated subgroup of M has more than 4 elements, the computational time and effort is not too high to get all positions and also the optimal maneuvers (in FTM).

Because we do not want to count some positions several times, we only list cubes, which *exactly* have a given symmetry. If the positons has higher symmetry, it only is counted with the higher symmetry.

All positions with more than 4 symmetries were solved within 20 moves. So a cube position which needs 21 moves must have 4 or less symmetries.

I do not list the maneuvers for all 177 cubes having more than 4 symmetries, which need 20 moves. The 88 cubes with exactly symmetry S_6 obviously are local maxima because you can map a face of the cube to any other face with an element of S_6, so I will omit them here. From the others, I did not check this yet, but I think a fast way to check if position x is a local maximum is to generate xU, xU2... and then let the two phase solver try to find a 20 moves maneuver, which usually happens within seconds.

D' R2 F' D2 F2 U2 L' R D' R2 B F R' U2 L' F2 R' U2 R' U' (20f*) //O_h

B U' R D2 B' D2 B' R B' D2 F U R F L B2 D' U' R' U' (20f*) //T_h

B2 R' B2 F U L2 F2 L F' D B F2 L2 F2 R U L2 B' R' U' (20f*)

U F2 R2 F2 D U2 B U' L' R F' U' F2 L' D2 B' R2 D F2 R' (20f*)

B' F U L U2 B L2 B2 R2 D' L' R D L2 F2 R2 F' U2 R' U' (20f*)

D L2 F2 R2 B' D2 L R U' R2 U' F2 D' R2 U' B' F' D2 R' U' (20f*) //D_4h

D' L R2 B F2 D F2 L2 U2 L2 F L R D2 U2 F' R D' R' U' (20f*) //D_3

F' D R2 F' L' D' F U R U L2 F L' U' B U2 F2 U2 R2 U' (20f*)

R F' D F' R' D L2 U' L2 D B' F2 R D' L F2 U' L2 R' U' (20f*)

R U2 B F' U2 L F U F' D' R B D2 B U L2 R F2 R' U' (20f*)

D' L2 D F L2 B L U' B R' D' L2 B R2 F2 U2 B2 D2 R' U' (20f*) //C_4h

R' D2 B2 D2 F' L B F2 U L F R B2 D2 F' D2 R2 U' R' U' (20f*)

D2 U' F' L U' B2 L2 F L' F2 L2 U2 R' D' F' D2 F U2 R' U' (20f*)

L2 F2 L2 U B2 D' L' D2 F2 R2 F D' B R B2 L U' F' D R' (20f*)

D' L' D2 F2 L D B D2 R2 B' F' R2 D2 F D R D2 F2 R' U' (20f*)

L U2 L2 U2 L F' L' U2 R' U' B' F2 U L' F D2 R U R' U' (20f*)

F2 R' B2 F D' L' U' L2 D L' B R' F' U L2 D' B' D' R' U' (20f*)

B2 L2 B2 D B2 D' L' D2 F2 R2 F D' B R B2 L U' F' D R' (20f*)

F2 U' F R F2 R U F R B L2 R2 B' L U L2 D B R' U2 (20f*)

R D B D F D2 R' U L' U2 F' R U2 L' U' R2 D2 L' R' U2 (20f*)

U' L2 U B L2 F L D' F R' U' L2 F R2 B2 D2 F2 U2 R' U' (20f*)

B R' F' R' D' L R' B D2 F D R D2 R D B R' D' R' U (20f*)

L B D' U2 B2 L2 B' L2 U L F' U F2 L2 D2 R' B2 F' R U' (20f*)

R F L' U2 L R' U' F' R2 B' F2 L' U' B2 R B2 F' U2 R' U' (20f*)

D2 F L' F' D' F' U' B D2 U2 R' F' R F2 L' R' D' F R' U' (20f*)

U2 B F2 L' R' B' D' F' D' L' B2 F' D' B' D F' D2 U R U' (20f*)

D2 F L2 D U' B D F' L' B2 U2 L2 R' D' B2 U' B' L R' U' (20f*)

R' D2 R' B F' U' R F' U2 B2 L' F U L' F2 D2 F2 D R' U' (20f*)

R D R' D B' D2 U F L2 D' R B R2 U' L R2 F U' R' U' (20f*)

R U' F D2 B2 L' R U' R' U' B' F' R D F L U2 F2 R' U' (20f*)

F D2 B L B2 U' L2 D' L B' R' D' L F2 U R2 B D R2 U' (20f*)

U' F2 L B' L' F D R U B U2 B2 U2 L' R2 U R U2 R' U' (20f*)

U' L' D' B' F' D L F R' B F L' B R U B' F' U' R' U' (20f*)

R' B F2 U2 R F' U B2 F L B F L' F D' R B' R' D2 U' (20f*)

F2 R B F D U L U R' F' R' F' R' U' R' D2 B2 F R2 U' (20f*)

U' L' U' B' F' U L B R' B F L' F R D B' F' D' R' U' (20f*)

L' R2 B U F' R' U L D' B2 U' B U2 R2 U B2 R U2 R' U' (20f*)

R' D2 L2 U R F' D R2 D L2 F2 L' B2 D' F D L' B' R' U' (20f*)

L' B D' F' R F U' F R2 U L B2 D R2 B F D2 F R' U' (20f*)

R' D L2 F' R2 D R2 B' F U2 F2 R' D' B D2 B2 F U2 R' U' (20f*)

L R2 D2 U' B2 D2 F' R D L U2 F U' B' F2 L U B2 R2 U' (20f*)

U R' B D' U B2 L R' B2 L' B' D2 F2 L2 F' U' B' F2 R U' (20f*)

L R' F' R2 D' B' F' U L' R' D F R B D2 U' R U R' U' (20f*) //D_2h type 1

F2 L R2 B' F U2 L' D L2 R B2 D U2 F2 R' F' R F' R2 U' (20f*)

R2 U R2 B L' R' F' R2 F R U' L2 B' D2 R' F L2 R2 F2 U' (20f*)

L2 R2 D' U2 R F2 U B' F R2 U' L' R F D L2 D' U R' U' (20f*)

B R' B' U' R F2 L U' B2 U' L B' L' R2 B U R2 F' R' U' (20f*)

F' L B U' B' D2 L' F2 D F' L D L2 U' R' U B' D2 R' U' (20f*) //D_2d type 2

L2 F2 L' F L' D' B' R U B F U L B U R2 B' U2 R' U' (20f*)

F L U B L' R2 B' F2 D2 B2 D2 R' B L U F D' U2 R' U' (20f*)

D U2 L' B' U2 L2 F U' B2 F2 U R' D2 B2 R' B F U2 R' U' (20f*)

D' R2 F' U2 L' D R D' F' L' R' U' L' U B R' D2 F' R2 U' (20f*)

R' F' D B L' B' U F' U2 B' R' B2 D F2 L2 U2 R B2 R U' (20f*)

R B2 U' L U R' D' B' D' L' U' F' R B' U L' F2 D2 R2 U' (20f*)

R' U R2 B F D' F' L B2 L F' U2 F' U B F R2 D' R' U' (20f*)

B2 D' U2 L2 D' F2 U R' U L U2 B' D' L' U' R2 B' R F R' (20f*)

B' F' D L' R' D' B' F' L2 R2 U' B' F' D L' R' U L' R' U' (20f*)

B' D2 B2 R' B' D R2 B' U' R' F' U R U' R2 D F2 U2 R' U' (20f*)

F2 R D B' U' R2 D2 U2 F' R F2 R2 U' L2 R U2 B2 U2 R' U' (20f*)

B F' L D2 B2 U R F' L' D' F U2 R B2 L' F2 U' B2 R' U' (20f*)

R2 B' F D' B' U B' D' F2 R' U2 F' D' U2 B' L B' U' R' U' (20f*)

F' L' B2 D B' U F2 L' F' D' R' B2 U' L' D' L' B2 F2 R2 U' (20f*)

U2 B2 F2 U' F2 U2 B' D2 U R' F' D L B' F' R D R' U' R' (20f*)

D R D' R2 B F2 R D' U' B' F D U R' B2 F' R2 U R' U' (20f*)

F' U B2 D L' R U' B2 D' F U B2 U2 R' F2 R2 F U2 R2 U' (20f*) //D_2h type 2

R' U2 L' B2 R D2 F' R U2 B2 U L F' R' D2 F R' U' R' U' (20f*)

D L R D R' D2 U2 B F2 R B L' F' L F D2 U' L' R' U' (20f*)

D' L2 R2 F' L' B D R' B2 U2 F R D' L2 F2 U' F2 U2 R' U' (20f*)

F D B2 L B' R' F D' B' D B F2 D2 R' B L D2 B R' U' (20f*)

F' L' B' D2 U' R' D' L2 B L' D2 U' B2 L' R2 B2 F2 U' R2 U' (20f*)

D2 B L' R2 U2 F' L2 F2 D B' L2 D' L' U F' R' D' U2 R2 U' (20f*)

F2 D2 F R' B' F U' F' D' U2 F L F' U' L' D2 U F' R' U' (20f*)

U L R U B F D B' F' L' D2 B2 D2 R B L R F' R2 U' (20f*)

R' B U2 R2 F R D2 F2 D2 U F2 R U2 L' F' D B' D2 R' U' (20f*)

R2 D2 B2 L D' F R' B D L U F U R D' L' D F2 R' U' (20f*)

U' L2 R2 F2 U' L2 R2 U B' D L' U' F2 L' U L2 U2 L2 R2 F' (20f*)

U L' B F2 U2 F' R2 B' D U L2 B U L2 U' B2 F U R' U' (20f*)

D' L2 D2 L' B2 D2 R2 F R2 D2 F2 U2 R2 U L2 U2 R' U2 R2 U' (20f*)

D' L2 R2 U' R2 D2 R F2 U2 R2 D2 U2 F L2 U2 F2 L' U2 R2 U' (20f*)

D' L2 R2 D' F2 D L2 B' R2 U B2 R F U L U R B U' R' (20f*)

B' F L B2 D L2 R' D L' U R2 D R2 F' U2 R' D' F2 R' U' (20f*)

B2 L' U R F U B' F R F' U' L' R2 U' L' F' U' F' R U' (20f*)

L2 D2 F2 L D' F R' B D L U F U R D' L' D F2 R' U' (20f*)

B F U2 L' D R' F' D L F D B' U2 B' U F D' U' R' U' (20f*)

D2 R' U' L2 B2 R U B2 F R' B2 D' B U2 L D' U F R' U' (20f*)

D2 F2 R D U L2 D B' R' D' L' D2 F' U B U' R' U R' U' (20f*)

R' D' L2 D B F L B L2 R2 B2 U' B D' R U F U2 R2 U' (20f*)

U2 F L2 U' B R B' L2 F' L B' U' F' L2 U R2 D' U2 R' U' (20f*)

L' F2 D' L2 B L' D F U' L2 U2 B' L2 U2 R' B L' F2 R2 U' (20f*)

R2 D' B2 R2 B2 D' L2 B2 D' F U L' D' R2 F2 U B D' R' U (20f*) //S_6

...(87 more maneuvers omitted)

For the labeling of cube symmetries there does not seem to exist a really consistent procedure. Michael Reid uses a different labeling than Jaap Scherhuis which also differs from my notation. My notation uses the Schoenflies symbols, I used for example this site for a deeper understanding.

In the symmetry editor module of my Cube Explorer program, the symmetries are sorted by the number of cubes having this symmetry. For symmetries where the associated subgroup of M has more than 4 elements, the computational time and effort is not too high to get all positions and also the optimal maneuvers (in FTM).

Because we do not want to count some positions several times, we only list cubes, which *exactly* have a given symmetry. If the positons has higher symmetry, it only is counted with the higher symmetry.

All positions with more than 4 symmetries were solved within 20 moves. So a cube position which needs 21 moves must have 4 or less symmetries.

I do not list the maneuvers for all 177 cubes having more than 4 symmetries, which need 20 moves. The 88 cubes with exactly symmetry S_6 obviously are local maxima because you can map a face of the cube to any other face with an element of S_6, so I will omit them here. From the others, I did not check this yet, but I think a fast way to check if position x is a local maximum is to generate xU, xU2... and then let the two phase solver try to find a 20 moves maneuver, which usually happens within seconds.

D' R2 F' D2 F2 U2 L' R D' R2 B F R' U2 L' F2 R' U2 R' U' (20f*) //O_h

B U' R D2 B' D2 B' R B' D2 F U R F L B2 D' U' R' U' (20f*) //T_h

B2 R' B2 F U L2 F2 L F' D B F2 L2 F2 R U L2 B' R' U' (20f*)

U F2 R2 F2 D U2 B U' L' R F' U' F2 L' D2 B' R2 D F2 R' (20f*)

B' F U L U2 B L2 B2 R2 D' L' R D L2 F2 R2 F' U2 R' U' (20f*)

D L2 F2 R2 B' D2 L R U' R2 U' F2 D' R2 U' B' F' D2 R' U' (20f*) //D_4h

D' L R2 B F2 D F2 L2 U2 L2 F L R D2 U2 F' R D' R' U' (20f*) //D_3

F' D R2 F' L' D' F U R U L2 F L' U' B U2 F2 U2 R2 U' (20f*)

R F' D F' R' D L2 U' L2 D B' F2 R D' L F2 U' L2 R' U' (20f*)

R U2 B F' U2 L F U F' D' R B D2 B U L2 R F2 R' U' (20f*)

D' L2 D F L2 B L U' B R' D' L2 B R2 F2 U2 B2 D2 R' U' (20f*) //C_4h

R' D2 B2 D2 F' L B F2 U L F R B2 D2 F' D2 R2 U' R' U' (20f*)

D2 U' F' L U' B2 L2 F L' F2 L2 U2 R' D' F' D2 F U2 R' U' (20f*)

L2 F2 L2 U B2 D' L' D2 F2 R2 F D' B R B2 L U' F' D R' (20f*)

D' L' D2 F2 L D B D2 R2 B' F' R2 D2 F D R D2 F2 R' U' (20f*)

L U2 L2 U2 L F' L' U2 R' U' B' F2 U L' F D2 R U R' U' (20f*)

F2 R' B2 F D' L' U' L2 D L' B R' F' U L2 D' B' D' R' U' (20f*)

B2 L2 B2 D B2 D' L' D2 F2 R2 F D' B R B2 L U' F' D R' (20f*)

F2 U' F R F2 R U F R B L2 R2 B' L U L2 D B R' U2 (20f*)

R D B D F D2 R' U L' U2 F' R U2 L' U' R2 D2 L' R' U2 (20f*)

U' L2 U B L2 F L D' F R' U' L2 F R2 B2 D2 F2 U2 R' U' (20f*)

B R' F' R' D' L R' B D2 F D R D2 R D B R' D' R' U (20f*)

L B D' U2 B2 L2 B' L2 U L F' U F2 L2 D2 R' B2 F' R U' (20f*)

R F L' U2 L R' U' F' R2 B' F2 L' U' B2 R B2 F' U2 R' U' (20f*)

D2 F L' F' D' F' U' B D2 U2 R' F' R F2 L' R' D' F R' U' (20f*)

U2 B F2 L' R' B' D' F' D' L' B2 F' D' B' D F' D2 U R U' (20f*)

D2 F L2 D U' B D F' L' B2 U2 L2 R' D' B2 U' B' L R' U' (20f*)

R' D2 R' B F' U' R F' U2 B2 L' F U L' F2 D2 F2 D R' U' (20f*)

R D R' D B' D2 U F L2 D' R B R2 U' L R2 F U' R' U' (20f*)

R U' F D2 B2 L' R U' R' U' B' F' R D F L U2 F2 R' U' (20f*)

F D2 B L B2 U' L2 D' L B' R' D' L F2 U R2 B D R2 U' (20f*)

U' F2 L B' L' F D R U B U2 B2 U2 L' R2 U R U2 R' U' (20f*)

U' L' D' B' F' D L F R' B F L' B R U B' F' U' R' U' (20f*)

R' B F2 U2 R F' U B2 F L B F L' F D' R B' R' D2 U' (20f*)

F2 R B F D U L U R' F' R' F' R' U' R' D2 B2 F R2 U' (20f*)

U' L' U' B' F' U L B R' B F L' F R D B' F' D' R' U' (20f*)

L' R2 B U F' R' U L D' B2 U' B U2 R2 U B2 R U2 R' U' (20f*)

R' D2 L2 U R F' D R2 D L2 F2 L' B2 D' F D L' B' R' U' (20f*)

L' B D' F' R F U' F R2 U L B2 D R2 B F D2 F R' U' (20f*)

R' D L2 F' R2 D R2 B' F U2 F2 R' D' B D2 B2 F U2 R' U' (20f*)

L R2 D2 U' B2 D2 F' R D L U2 F U' B' F2 L U B2 R2 U' (20f*)

U R' B D' U B2 L R' B2 L' B' D2 F2 L2 F' U' B' F2 R U' (20f*)

L R' F' R2 D' B' F' U L' R' D F R B D2 U' R U R' U' (20f*) //D_2h type 1

F2 L R2 B' F U2 L' D L2 R B2 D U2 F2 R' F' R F' R2 U' (20f*)

R2 U R2 B L' R' F' R2 F R U' L2 B' D2 R' F L2 R2 F2 U' (20f*)

L2 R2 D' U2 R F2 U B' F R2 U' L' R F D L2 D' U R' U' (20f*)

B R' B' U' R F2 L U' B2 U' L B' L' R2 B U R2 F' R' U' (20f*)

F' L B U' B' D2 L' F2 D F' L D L2 U' R' U B' D2 R' U' (20f*) //D_2d type 2

L2 F2 L' F L' D' B' R U B F U L B U R2 B' U2 R' U' (20f*)

F L U B L' R2 B' F2 D2 B2 D2 R' B L U F D' U2 R' U' (20f*)

D U2 L' B' U2 L2 F U' B2 F2 U R' D2 B2 R' B F U2 R' U' (20f*)

D' R2 F' U2 L' D R D' F' L' R' U' L' U B R' D2 F' R2 U' (20f*)

R' F' D B L' B' U F' U2 B' R' B2 D F2 L2 U2 R B2 R U' (20f*)

R B2 U' L U R' D' B' D' L' U' F' R B' U L' F2 D2 R2 U' (20f*)

R' U R2 B F D' F' L B2 L F' U2 F' U B F R2 D' R' U' (20f*)

B2 D' U2 L2 D' F2 U R' U L U2 B' D' L' U' R2 B' R F R' (20f*)

B' F' D L' R' D' B' F' L2 R2 U' B' F' D L' R' U L' R' U' (20f*)

B' D2 B2 R' B' D R2 B' U' R' F' U R U' R2 D F2 U2 R' U' (20f*)

F2 R D B' U' R2 D2 U2 F' R F2 R2 U' L2 R U2 B2 U2 R' U' (20f*)

B F' L D2 B2 U R F' L' D' F U2 R B2 L' F2 U' B2 R' U' (20f*)

R2 B' F D' B' U B' D' F2 R' U2 F' D' U2 B' L B' U' R' U' (20f*)

F' L' B2 D B' U F2 L' F' D' R' B2 U' L' D' L' B2 F2 R2 U' (20f*)

U2 B2 F2 U' F2 U2 B' D2 U R' F' D L B' F' R D R' U' R' (20f*)

D R D' R2 B F2 R D' U' B' F D U R' B2 F' R2 U R' U' (20f*)

F' U B2 D L' R U' B2 D' F U B2 U2 R' F2 R2 F U2 R2 U' (20f*) //D_2h type 2

R' U2 L' B2 R D2 F' R U2 B2 U L F' R' D2 F R' U' R' U' (20f*)

D L R D R' D2 U2 B F2 R B L' F' L F D2 U' L' R' U' (20f*)

D' L2 R2 F' L' B D R' B2 U2 F R D' L2 F2 U' F2 U2 R' U' (20f*)

F D B2 L B' R' F D' B' D B F2 D2 R' B L D2 B R' U' (20f*)

F' L' B' D2 U' R' D' L2 B L' D2 U' B2 L' R2 B2 F2 U' R2 U' (20f*)

D2 B L' R2 U2 F' L2 F2 D B' L2 D' L' U F' R' D' U2 R2 U' (20f*)

F2 D2 F R' B' F U' F' D' U2 F L F' U' L' D2 U F' R' U' (20f*)

U L R U B F D B' F' L' D2 B2 D2 R B L R F' R2 U' (20f*)

R' B U2 R2 F R D2 F2 D2 U F2 R U2 L' F' D B' D2 R' U' (20f*)

R2 D2 B2 L D' F R' B D L U F U R D' L' D F2 R' U' (20f*)

U' L2 R2 F2 U' L2 R2 U B' D L' U' F2 L' U L2 U2 L2 R2 F' (20f*)

U L' B F2 U2 F' R2 B' D U L2 B U L2 U' B2 F U R' U' (20f*)

D' L2 D2 L' B2 D2 R2 F R2 D2 F2 U2 R2 U L2 U2 R' U2 R2 U' (20f*)

D' L2 R2 U' R2 D2 R F2 U2 R2 D2 U2 F L2 U2 F2 L' U2 R2 U' (20f*)

D' L2 R2 D' F2 D L2 B' R2 U B2 R F U L U R B U' R' (20f*)

B' F L B2 D L2 R' D L' U R2 D R2 F' U2 R' D' F2 R' U' (20f*)

B2 L' U R F U B' F R F' U' L' R2 U' L' F' U' F' R U' (20f*)

L2 D2 F2 L D' F R' B D L U F U R D' L' D F2 R' U' (20f*)

B F U2 L' D R' F' D L F D B' U2 B' U F D' U' R' U' (20f*)

D2 R' U' L2 B2 R U B2 F R' B2 D' B U2 L D' U F R' U' (20f*)

D2 F2 R D U L2 D B' R' D' L' D2 F' U B U' R' U R' U' (20f*)

R' D' L2 D B F L B L2 R2 B2 U' B D' R U F U2 R2 U' (20f*)

U2 F L2 U' B R B' L2 F' L B' U' F' L2 U R2 D' U2 R' U' (20f*)

L' F2 D' L2 B L' D F U' L2 U2 B' L2 U2 R' B L' F2 R2 U' (20f*)

R2 D' B2 R2 B2 D' L2 B2 D' F U L' D' R2 F2 U B D' R' U (20f*) //S_6

...(87 more maneuvers omitted)